Breguet range equation

Breguet range equation은 비행기가 얼마나 멀리 날 수 있는가를 나타내는 방정식이다.

$W$의 무게를 갖는 비행기가 steady, level flight 중 이라고 생각해 보자. 총 무게의 변화는 연료의 변화와 같다.

$$\frac{dW}{dt} = g\dot{m_f} = \frac{T}{I_{sp}}$$

$W$: 비행기 총 중량
$t$: 시간
$g$: 중력가속도
$\dot{m_f}$:연료변화량
$T$: 추력
$I_{sp}$: efficiency

For steady, level flight 에서는 $T = D$, $L = W$, or

$$W=L=D \left( \frac{L}{D} \right)=T \left( \frac{L}{D} \right)$$

따라서, 항공기 총 무게의 변화량은

$$\frac{dW}{dt} =-\frac{W}{(L/D)I_{sp}}$$

$L/D$ and $I_{sp}$ 이 flight path를 따라 constant 라고 가정하면:

$$\frac{dW}{W} = -\frac{dt}{(L/D)I_{sp}}$$

적분하면

$$\ln\left(\frac{W}{W_i}\right)=-\frac{t}{(L/D)I_{sp}}$$

$W_i$: 비행 초기 항공기 무게
$W_f$: 비행 종료 시 항공기 무게

비행 초기 및 종료 시간에 따라 적분하면

$$\frac{L}{D}I_{sp} \ln\left(\frac{W_i}{W_f}\right)=t_f$$

$t_\textrm{initial}$: 비행 시작 시간, $t_\textrm{initial}=0$
$t_f$: 비행 종료 시간

비행 영역(Flight Range)은 항공기 속도($V$)와 시간($t$)의 곱이므로

$$ Range = V t_f = V \times \frac{L}{D} \times I_{sp} \times \ln \left( \frac{W_i}{W_f} \right)$$